一、完全了解傅里叶变换
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，经过FFT能够将一个信号从时域变换到频域。
模拟信号经过A/D转化变为数字信号的进程称为采样。为确保采样后信号的频谱形状不失真，采样频率有必要大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。
假定采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT成果便是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n从1开端)表明的频率为：fn=(n-1)*fs/N。
举例阐明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT成果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。
这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2(n=1时是直流重量，其幅值是该点的模值除以N)。
二、傅里叶变换的C言语编程
1、关于快速傅里叶变换FFT，第一个要处理的问题便是码位倒序。
假定一个N点的输入序列，那么它的序号二进制数位数便是t=log2N.
码位倒序要处理两个问题：①将t位二进制数倒序;②将倒序后的两个存储单元进行交流。
假如输入序列的天然顺序号i用二进制数表明，例如若最大序号为15，即用4位就可表明n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数便是n0n1n2n3，那么怎样才能完结倒序呢?使用C言语的移位功用!
程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下!
复数类型界说及其运算
#define N 64 //64点
#define log2N 6 //log2N=6
/*复数类型*/
typedef struct
{
float real;
float img;
}complex;
complex xdata x[N]; //输入序列
/*复数加法*/
complex add(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real+b.real;
c.img=a.img+b.img;
return c;
}
/*复数减法*/
complex sub(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real-b.real;
c.img=a.img-b.img;
return c;
}
/*复数乘法*/
complex mul(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real*b.real – a.img*b.img;
c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;
return c;
}
/***码位倒序函数***/
void Reverse(void)
{
unsigned int i,j,k;
unsigned int t;
complex temp;//暂时交流变量
for(i=0;iN;i++)//从第0个序号到第N-1个序号
{
k=i;//当时第i个序号
j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0
for(t=0;tlog2N;t++)//共移位t次，其间log2N是事前宏界说算好的
{
j=1;
j|=(k1);//j左移一位然后加上k的最低位
k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位
}
if(j>i)//假如倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交流(判别j>i是为了避免重复交流)
{
temp=x;
x=x[j];
x[j]=temp;
}
}
}
2、第二个要处理的问题便是蝶形运算
①第1级(第1列)每个蝶形的两节点“间隔”为1，第2级每个蝶形的两节点“间隔”为2，第3级每个蝶形的两节点“间隔”为4，第4级每个蝶形的两节点“间隔”为8。由此推得，
第m级蝶形运算，每个蝶形的两节点“间隔”L=2m-1。
②关于16点的FFT，第1级有16组蝶形，每组有1个蝶形;第2级有4组蝶形，每组有2个蝶形;第3级有2组蝶形，每组有4个蝶形;第4级有1组蝶形，每组有8个蝶形。由此可推出，
关于N点的FFT，第m级有N/2L组蝶形，每组有L=2m-1个蝶形。
③旋转因子
的确认
以16点FFT为例，第m级第k个旋转因子为
，其间k=0～2m-1-1，即第m级共有2m-1个旋转因子，依据旋转因子的可约性，
，所以第m级第k个旋转因子为
，其间k=0～2m-1-1。
为进步FFT的运算速度，咱们能够事前树立一个旋转因子数组，然后经过查表法来完结。
complex code WN[N]=//旋转因子数组
{ //为节约CPU核算时刻，旋转因子选用查表处理
//★依据实践FFT的点数N，该表数据需自行修正
//以下成果经过Excel主动生成
// WN[k].real=cos(2*PI/N*k);
// WN[k].img=-sin(2*PI/N*k);
{1.00000,0.00000},{0.99518,-0.09802},{0.98079,-0.19509},{0.95694,-0.29028},
{0.92388,-0.38268},{0.88192,-0.47140},{0.83147,-0.55557},{0.77301,-0.63439},
{0.70711,-0.70711},{0.63439,-0.77301},{0.55557,-0.83147},{0.47140,-0.88192},
{0.38268,-0.92388},{0.29028,-0.95694},{0.19509,-0.98079},{0.09802,-0.99518},
{0.00000,-1.00000},{-0.09802,-0.99518},{-0.19509,-0.98079},{-0.29028,-0.95694},
{-0.38268,-0.92388},{-0.47140,-0.88192},{-0.55557,-0.83147},{-0.63439,-0.77301},
{-0.70711,-0.70711},{-0.77301,-0.63439},{-0.83147,-0.55557},{-0.88192,-0.47140},
{-0.92388,-0.38268},{-0.95694,-0.29028},{-0.98079,-0.19509},{-0.99518,-0.09802},
{-1.00000,0.00000},{-0.99518,0.09802},{-0.98079,0.19509},{-0.95694,0.29028},
{-0.92388,0.38268},{-0.88192,0.47140},{-0.83147,0.55557},{-0.77301,0.63439},
{-0.70711,0.70711},{-0.63439,0.77301},{-0.55557,0.83147},{-0.47140,0.88192},
{-0.38268,0.92388},{-0.29028,0.95694},{-0.19509,0.98079},{-0.09802,0.99518},
{0.00000,1.00000},{0.09802,0.99518},{0.19509,0.98079},{0.29028,0.95694},
{0.38268,0.92388},{0.47140,0.88192},{0.55557,0.83147},{0.63439,0.77301},
{0.70711,0.70711},{0.77301,0.63439},{0.83147,0.55557},{0.88192,0.47140},
{0.92388,0.38268},{0.95694,0.29028},{0.98079,0.19509},{0.99518,0.09802}
};
3、算法完结
咱们现已知道，N点FFT从左到右共有log2N级蝶形，每级有N/2L组，每组有L个。所以FFT的C言语编程只需用3层循环即可完结：最外层循环完结每一级的蝶形运算(整个FFT共log2N级)，中间层循环完结每一组的蝶形运算(每一级有N/2L组)，最内层循环完结独自1个蝶形运算(每一组有L个)。
/***【快速傅里叶变换】***/
void FFT(void)
{
unsigned int i,j,k,l;
complex top,bottom,xW;
Reverse(); //码位倒序
for(i=0;ilog2N;i++) /*共log2N级*/
{ //一级蝶形运算
l=1i;//l等于2的i次方
for(j=0;jN;j+=2*l) /*每L个蝶形是一组，每级有N/2L组*/
{ //一组蝶形运算
for(k=0;kl;k++) /*每组有L个*/
{ //一个蝶形运算
xW=mul(x[j+k+l],WN[N/(2*l)*k]); //碟距离为l
top=add(x[j+k],xW); //每组的第k个蝶形
bottom=sub(x[j+k],xW);
x[j+k]=top;
x[j+k+l]=bottom;
}
}
}
}
三、FFT核算成果验证
随意输入一个64点序列，例如
x[N]={{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0}};
在Keil中Debug检查数组变量x的FFT核算成果并与MATLAB核算成果进行比对，能够发现十分精确，阐明程序编写正确！
