千呼万唤始出来，咱们前面现已做了许多许多的预备，总算能够揭开傅立叶改换的面纱了。当然，在阅览这篇文章之前，请有必要确保你现已把握了傅立叶级数的一切内容，能够参看
图画处理中的数学原理详解(Part4) ——傅立叶级数的概念1
http://www.eepw.com.cn/article/201703/344947.htm
图画处理中的数学原理详解(Part5) ——傅立叶级数的概念2
http://www.eepw.com.cn/article/201703/344948.htm
1.4.4 傅立叶改换的由来
这便是傅立叶改换及其反改换的表达式。一般状况下，若“傅立叶改换”一词前不加任何限定语，则指的是“接连傅立叶改换”(接连函数的傅立叶改换)。接连傅立叶改换将频率域的函数F(w) 表明为时刻域的函数f(t)的积分方式。而其逆改换则是将时刻域的函数f(t)表明为频率域的复指数函数F(w)的积分。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(w)为傅立叶改换的像函数，原函数和像函数构成一个傅立叶改换对。
若f(t)为偶函数，则F(w)将为纯实数，并且同为偶函数(使用这一点便能够得到所谓的余弦改换);假如f(t)为奇函数，则F(w)将为纯虚数，且同为奇函数;而对恣意f(t)， F(w)与F(-w) 一直共轭，这意味着|F(w)| 与|F(-w)| 恒持平，即F(w)的肯定值是偶函数。
傅立叶改换针对的对错周期函数，或许说是周期为无量大的函数。所以它是傅立叶级数的一个特例。当傅立叶级数的周期 l 趋于无量时，天然就变成了上面的傅立叶改换。这种联系从二者的表达式中大约能看出点端倪，但也不是特别显着，究竟它们的表达方式不同依然很大。假如不把傅立叶级数表达到复数方式，那就愈加难看出二者之间的联系了。傅立叶改换要求 f(t)在实数域 上肯定可积，其实能够了解成“傅立叶级数要求函数在一个周期内的积分有必要收敛”。
傅立叶改换是信号处理中的重要东西。在信号处理中， f(t)表明的一个信号在时域上的散布状况，而F(w) 则表明一个信号在频域(或改换域)上的散布状况。这是由于 F(w)的散布其实就代表了各角频率波重量的散布。由于 F(w)是复数，|F(w)| 的散布正比地表现了各个角频率波重量的振幅散布。F(w) 的辐角表现了各个角频率波重量的相位散布。平常所说的“频谱图”，其实指的便是|F(w)|的函数图画，它一直是偶函数(这个便是实数了，由于取的是|F(w)| 的幅值而不是 F(w)自身)。关于满意傅立叶改换条件的非周期函数，他们的频谱图一般都是接连的;而关于周期函数，他们的频谱则都是离散的点，只在整数倍角基频( π/ l)的方位有非零的频谱点存在。依据频谱图能够很简单判别该原函数是周期函数还对错周期的(看频谱图是否接连就能够了)，并且关于周期函数，能够从频谱图读出周期巨细(相邻的离散点之间的横轴距离便是角基频，这个角频率对应的周期便是原函数的周期)。关于傅立叶改换在信号处理中愈加深化的使用读者有必要参看相关材料，此处咱们的介绍旨在协助读者搞清楚傅立叶改换的由来，并树立傅立叶改换与傅立叶级数之间的联系。
