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简介
在本系列的榜首篇文章中,1 我调查了滤波器相位与滤波器实 现拓扑结构的联系。在第二篇文章中,2 我调查了低通和高通 呼应滤波器传递函数的相位偏移。这篇文章将要点评论带通 呼应。尽管滤波器首要针对起伏呼应而规划，但在一些运用 中，相位呼应或许非常重要。
出于调查意图，有源滤波器的传递函数实践上是滤波器传递 函数和放大器传递函数的级联（见图1）。
带通传递函数
把低通原型的分子改为
成果将把滤波器变成一个带通 函数。这会在传递函数内引进一个零点。分子中的一个s得到 一个零点，分母中的一个s得到极点。零点将发生频率上升响 应，而极点将发生频率下降呼应。
二阶带通滤波器的传递函数变为：
此处的ω为滤波器增益峰值化时的频率 (F0 = 2 π ω0)
H0 为电路增益（Q峰值化），界说为：
其间，H为滤波器完结的增益。
对带通呼应来说，Q有特别含义。它是滤波器的挑选性。界说为：
其间，FL和FH为呼应比最大值相差–3 dB时的频率。
滤波器的带宽 (BW) 界说为：
能够证明，谐振频率 (F0)为 FL 和 FH的几许平均值，这就意味着，F0 在对数规范大将出现在FL 和 FH 二者的中点。
另需留意的是，在对数规范上，带通呼应的波裙在 F0 左右始终是对称的。
带通滤波器对各种Q值的起伏呼应如图2所示。在此图中，中心频率的增益归一化为1 (0 dB)。
尽管本文首要重视相位呼应，但了解下滤波器起伏呼应也很有用。
这儿需求提示一下。带通滤波器有两种界说方法。窄带状况为经典界说，如上文所示。可是，在某些状况下，假如高、低截止频率相差很大，则带通滤波器选用独立的高通和低通部分进行结构。这儿所说的相差很大是说至少相差2个倍频程（频率×4）。这便是宽带状况。本文中，咱们首要重视窄带状况。对 于宽带状况，可将滤波器视为独立的高通和低通部分。
尽管带通滤波器可用巴特沃兹、贝塞尔或切比雪夫等规范呼应界说，但它们也一般依照其Q和F0界说。
带通滤波器的相位呼应为：
请留意，不存在单极点带通滤波器。
图3从中心频率的1%到中心频率的100倍对公式6进行估值。中心频率的相移为0°。中心频率为1，Q等于0.707。此Q与前一篇文章中运用的Q相同，但该篇文章中咱们运用的是α。记 住，α = 1/Q。
调查后发现，此曲线的形状根本上与低通（和相应的高通） 的曲线形状相同。可是，本例中相移从中心频率下方90°开 始，在中心频率处趋于0°，最终完毕于中心频率上方–90°。
在图4中，咱们调查了在Q不断改变时带通滤波器的相位响 应。调查传递函数能够发现，相位改变或许发生在相对较大 的频率规模内，改变的规模与电路的Q成反比。相同，在调查 后发现，曲线的形状与低通（和高通）呼应相同，仅规模有 差异。
放大器传递函数
之前的部分显现，传递函数根本上便是单极点滤波器的传递 函数。尽管放大器的相移一般被忽视，但它可影响复合滤波 器的全体传递。本文随机挑选了AD822 用于滤波器的仿真。 这样挑选的部分原因是为了最大程度地下降对滤波器传递函 数的影响。这是因为，放大器相移的频率显着高于滤波器本 身的转机频率。AD822的传递函数如图5所示，其信息直接取 自数据手册。
示例1：Q = 20 的1 kHz 2 极点带通滤波器
榜首个示例开端时是作为带通规划的滤波器。咱们随意挑选 了一个1 kHz的中心频率和数值为20的Q。因为Q在较高的一 侧，因而咱们将运用双放大器带通 (DABP) 装备。相同，这 是随意挑选的。
咱们运用参阅1的规划公式。相应的电路如图6所示：
本文中咱们首要重视相位，但我以为调查下起伏呼应也很有用。
图8所示为相位呼应：
应当留意，DABP装备为同相。图8与图3共同。
示例2：从1 kHz、3 极点0.5 dB 切比雪夫低通到带通滤波器的转化
滤波器原理以低通原型为根底，低通原型能够其他方式表明。本例运用的原型是1 kHz、3极点、0.5 dB切比雪夫滤波器。挑选切比雪夫滤波器是因为，假如呼应不正确，它能够 显现得更清楚。例如，通带中的纹波将不会排成一行。在本例中，巴特沃兹滤波器或许过于宽松。挑选3极点滤波器是为 了能够转化一个极点对和单个极点。
LP 原型的极点方位（来自参阅1）为：
| 级 | α | β | F0 | α |
| 1 | 0.2683 | 0.8753 | 1.0688 | 0.5861 |
| 2 | 0.5366 | 0.6265 |
榜首级为极点对，第二级为单极点。请留意，用α表明两个完 全不同的参数的做法是不可取的。左边的α和β为复平面上的 极点方位。这些是转化算法中运用的值。右侧的α为1/Q，这 正是物理滤波器规划等式所期望看到的。
现在，低通原型被转化成了带通滤波器。参阅1中列出的一系 列等式用于转化。原型滤波器的每个极点都将转化成一个极 点对。因而，转化完结时，3极点原型将具有6个极点（3个极 点对）。此外，原点处将有6个零点。不存在单极点带通。
转化进程的部分作业是指定可组成的滤波器的3 dB 带宽。在 这种状况下，该带宽将被设为500 Hz。发生的转化成果如下：
| 级 | F0 | Q | A0 |
| 1 | 804.5 | 7.63 | 3.49 |
| 2 | 1243 | 7.63 | 3.49 |
| 3 | 1000 | 3.73 | 1 |
实践上，先将更低的增益和Q部分放入串中或许很有用，因为 这可最大程度地进步信号电平处理才能。前两级存在增益要 求的原因在于，相对于总滤波器中心频率，它们的中心频率 将会衰减（也便是说，它们将在其他部分的波裙上）。
因为成果得到的Q适中（小于20），因而将选用多级反应拓扑 结构。咱们运用参阅1中多路反应带通滤波器的规划方程规划 滤波器。图9显现了滤波器自身的原理图。
图10中能够看到完好滤波器的相移。曲线图独自显现了榜首 部分的相移（第1部分）、前两个部分的组合相移（第2部 分），以及完好滤波器的相移（第3部分）。这些曲线显现了 “实践”滤波器部分的相移，其间包含放大器的相移和滤波器 拓扑结构的反相。
图10中有几点细节需求留意。榜首，相位呼应具有累积性。第 一部分显现了180°的相位改变（滤波函数的相移，忽视了滤波 器拓扑结构的相移）。第二部分显现了因具有两部分而发生的 360°相位改变，每个部分180°。记住，360° = 0°。第三部分显 示了540°的相移，每个部分180°。还应留意，在高于10 kHz的 频率处，咱们开端看到相位因放大器呼应而细微滚降。还能够 看出，滚降也具有累积性，会跟着每个部分而增大。
在图11中咱们能够看到完好滤波器的起伏呼应。
定论
本文评论的是带通滤波器的相移。在前面几篇文章中，咱们 调查了与滤波器拓扑结构相关的相移以及低通和高通拓扑结 构的相移。在后续文章中，咱们将调查陷波滤波器和全通滤 波器。在最终一期，咱们将总结并调查相移怎么影响滤波器 的瞬态呼应，一起还会调查群推迟、脉冲呼应、阶跃呼应， 以及它们对信号的含义。
尾注：
1Hank Zumbahlen. “有源滤波器中的相位联系”。模仿对话，第41卷第3期，2007年。
2Hank Zumbahlen. “有源滤波器的相位呼应第二部分：低通和高通呼应”, 模仿对话, 第43卷第3期，2009年。
参阅电路
Daryanani, G. 有源网络组成和规划的原理。John Wiley & Sons, 1976。
Graeme, J., G. Tobey 和 L. Huelsman 。运算放大器规划和运用。McGraw-Hill, 1971。
Van Valkenburg, Mac。 模仿滤波器规划。Holt, Rinehart and Winston, 1982。
Williams, Arthur B。 电子滤波器规划手册。McGraw-Hill, 1981。
Hank Zumbahlen， 《根本线性规划》第8章。ADI公司，2006年。
Hank Zumbahlen， “第5章：模仿滤波器。” 运算放大器运用手册。Newnes-Elsevier, 2006。
Hank Zumbahlen， 线性电路规划手册。Newnes-Elsevier, 2008。
Hank Zumbahlen， “有源滤波器中的相位联系”。 。模仿对话， 第41卷，2007年。
Zverev, Anatol I。 滤波器组成手册。John Wiley & Sons, 1967。
