本文旨在调查滤波器传递函数自身的相位偏移。尽管滤波器首要是针对起伏呼应而规划的，但在延时仿真、级联滤波器级，特别是进程操控环路等运用中，相位呼应或许非常重要。
本文将会集评论低通和高通呼应。咱们先来回忆一下，有源滤波器的传递函数能够视为滤波器传递函数和放大器传递函数的级联呼应（图1）。
图1.作为两个传递函数级联的滤波器
首要，咱们将从头调查一下传递等式的相位呼应。
关于单极点低通状况，传递函数的相移为：
在等式中，？标明弧度频率（=2πf弧度/秒;1 Hz=2π弧度/秒），标明滤波器上的弧度中心频率。中心频率也可称为截止频率。就相位而言，中心频率指相移处于其规模50%时的频率。由于弧度频率当作一个比率运用，因而，频率比（f/fo）能够方便地代替。
图2（左轴）在中心频率以下二十倍频程至中心频率以上二十倍频程的规模内对等式1进行了评价。由于单极点低通 的相移规模为90°（0°至90°），因而，中心频率的相移为–45°。其时，归一化中心频率为1。
图2.单极点低通滤波器（左轴）和高通滤波器（右轴）在中心频率为1时的相位呼应。
相似地，单极点高通滤波器的相位呼应核算公式为：
图2（右轴）在中心频率以下二十倍频程至中心频率以上二十倍频程的规模内对等式2进行了评价。中心频率（= 1）的相移为+45°。
假如低通 通带界说为低于截止频率的频率，高通通带界说为高于中心频率的频率，留意，最低相移（0°至45°）处于通带中。相反，最高相移（45°至90°）出现在阻带中（高于低通截止频率和低于高通截止频率的频率）。
在低通状况下，滤波器的输出落后于输入（负相移）;在高通状况下，输出先于输入（正相移）。图3展现的是下列波形：输入正弦波信号（中部轨道）、1 kHz截止单极点高通滤波器输出（顶部轨道）和1 kHz截止单极点低通滤波器输出（底部轨道）。信号频率也为1 kHz——两个滤波器的截止频率。45°的波形超前和滞后状况清楚明了。
图3.单极点高通滤波器（顶部轨道）和低通滤波器（底部轨道）的输入（中部轨道）和输出。
关于二阶低通状况，传输函数的相移近似值为：
图4（左轴）在中心频率以下二十倍频程至中心频率以上二十倍频程的规模内对该等式（= √2 = 1.414）进行了评价。此处，中心频率为1，相移为-90°。
图4.双极点低通滤波器（左轴）和高通滤波器（右轴）在中心频率为1时的相位呼应。
在等式3中，（滤波器的阻尼比）为Q的倒数（即Q=1/α）。它决议着起伏（和瞬态）呼应的起伏峰值以及相变的锐度。α为1.414时，标明双极点巴特沃兹（最平整）呼应。
双极点高通滤波器的相位呼应可通过下式核算其近似值：
图4（右轴）对该式进行了评价，其间，=1.414，规模为中心频率以下二十倍频程至中心频率以上二十倍频程。中心频率（= 1）的相移为90°。
图2和图4选用的是单曲线，由于高通和低通相位呼应相似，仅相移180°（π弧度）。这等于改动相位的符号，使低通滤波器的输出滞后，并使高通滤波器抢先。
趁便提一下，实践中，高通滤波器实践上是宽带通带滤波器，由于放大器的呼应会引进至少一个低通极点。
图5所示为一个双极点低通滤波器的相位呼应和增益呼应，标明为Q的函数。传递函数标明，相位改变或许散布在较宽的频率规模中，而且改变规模与电路Q成反比。尽管本文首要评论相位呼应，可是，相位改变率与起伏改变率之间的联系也是值得考虑的。
留意，每个双极点段都会供给一个最大180°的相移，而且在极点状况下，–180°的相移（尽管滞后360°）与180°的相移具有相同的特点。为此，多级滤波器往往在有限规模内制作其曲线图，比方180°至–180°，以进步图形的读取精度（见图11和图13）。在这种状况下，咱们有必要认识到，图中制作的视点实践上为实在视点±m×360°。尽管在这种状况下，图的顶部和底部（曲线图相移±180°）好像存在不接连问题，但实践相位视点的改变对错常滑润的，而且呈单调性。
图5.双极点低通
滤波器段的相位和起伏呼应（为Q的函数）。
图6所示为双极点高通滤波器在不同Q下的增益和相位呼应。传递函数标明，180°的相变或许发生在较大的频率规模内，而且改变规模与电路的Q成反比。别的要留意的是，曲线的形状是十分相似的。详细地，相位呼应具有相同的形状，仅仅规模有所不同。
图6.双极点高通
滤波器段的相位和起伏呼应（为Q的函数）。
放大器传递函数
放大器的开环传递函数根本上便是单极点滤波器的开环传递函数。假如是反相放大器，实践上是刺进180°的额定相移。放大器的闭环相移一般忽略不计，可是，假如带宽缺乏，就或许影响复合滤波器的总传递函数。本文随机挑选了AD822以便对滤波器进行仿真。本文展现了对复合滤波器传递函数的部分影响，但仅仅在较高频率下的影响，由于保持其增益和相移的频率比滤波器自身的角频要高得多。AD822的开环传递函数（摘自数据手册）如图7所示。
图7.AD822波特图增益和相位。
示例1：1 kHz、5极点0.5 dB切比雪夫低通滤波器
作为比如，咱们将调查一款1 kHz、5极点0.5 dB切比雪夫低通滤波器。做出该随机挑选的几个原因：
1） 与巴特沃兹状况不同，各段的中心频率都不相同。这样，图中的轨道散布会更广些，图也就风趣些。
2） Q一般都略高。
3） 奇数个极点突出了单极点段和双极点段之间的差异。
滤波器段是用ADI网站上的滤波器规划导游规划的。
各段的F0和Q为：
F01 = 615.8Hz F02=960.8Hz F03=342Hz
Q1=1.178 Q2=4.545
图8所示为完好滤波器的原理图。所选滤波器拓扑结构——多反应（MFB）——也是随机的，就像挑选使单极点段成为有源积分器而非简略的缓冲式无源RC电路相同。
图8.1 kHz、5极点0.5dB切比雪夫低通滤波器。
图9所示为完好滤波器在各级的相移。图中所示为榜首段自身（第1段，蓝色）、前两段（第1段和第2段，赤色）和完好滤波器（第1段、第2段和第3段，绿色）的相移。其间包含各滤波器段的根本相移、各个反相放大器奉献的180°以及放大器频率呼应对全体相移的影响。
图9.图8中的1 kHz、5极点0.5 dB切比雪夫低通滤波器的相位呼应。
一些有意思的细节：首要，相位呼应（为净滞后）负向累加。受放大器反相影响，在低频下，榜首个双极点段始于–180°（=180° 模360°）;在高频下，增至–360°（=0° 模360°）。第二段再添一次反相，因而，始于–540°（=180°模360°），在高频下，相位增至–720°（=0°模360°）。低频下，第三段始于–900°（=180° 模 360°），高频下增至–990°（=90° 模360°）。别的留意，当频率超越10 kHz时，受放大器频率呼应影响，相位稍微滚降。该滚降具有累加性，每段均有添加。
示例2：1 kHz、5极点0.5 dB切比雪夫高通滤波器
第二个比如（图10）考虑的是一款1 kHz、5极点0.5 dB切比雪夫高通滤波器的相位呼应。在本例中，滤波器是用（相同运用滤波器规划导游）Sallen-Key压控电压源（VCVS）段而非多路反应（MFB）规划而成。尽管为随机挑选，可是，VCVS只要求在每个双极点段运用两个电容，而不像多反应那样要求每段运用三个电容，而且前两段同相。
图10.1 kHz、5极点0.5 dB切比雪夫高通滤波器。
图11显现了滤波器各段的相位呼应。低频下，榜首段的相移始于180°，高频时降至0°。第二段（低频下添加180°）始于360°（=0°模360°），高频时降至0°。第三段（添加反相）低频下始于–180°+90°=？90°，降至–540°（=–180°模360°）。相同留意，高频下因放大器频率呼应而添加的滚降。
图11.图10中的1 kHz、5极点0.5 dB切比雪夫低通滤波器的相位呼应。
定论
本文调查了低通和高通滤波器的相移。上一篇文章调查的是相移与滤波器拓扑结构的联系。在将来的文章中，咱们将评论带通、陷波和全通滤波器，而且在最终一篇文章中，咱们将纵览大局，调查相移对滤波器瞬态呼应的影响，以及组推迟、脉冲呼应和阶跃呼应。
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